摘要:在复数域上给出欧拉公式的六种证明;举例说明欧拉公式在高等数学中的几类应用。
关键词:欧拉公式; 极限法;指数函数积分法;复数幂级数;
Abstract: This paper presents six proofs of Euler's formula in the complex field, and shows several applications of Euler's formula in higher mathematics.
Key words: Euler's formula; limit method; an exponential function integral method; complex power series
欧拉是十八世纪最杰出的最多产的数学家之一,留下了数不胜数的以其名字命名的公式。本文关注的欧拉公式,在复数域中它把指数函数联系在一起。特别当时,欧拉公式便写成了,这个等式将最富有特色的五个数绝妙的联系在一起,“是实数的基本单位,是虚数的基本单位,是唯一的中性数,他们都具有独特的地位,都具有代表性。源于代数,源于几何,源于分析,与在超越数之中独具特色。这五个数看来是互不相关的数,居然和谐的统一在一个式子中。”[2]公式成为人们公认的优美公式,被视为数学美一个象征。这充分揭示了数学美的统一性、简洁性、奇异性等美学特性,了解这些丰富的数学文化内容,对于通过高等数学学习提高大学生的综素质、提高数学教育质量具有重要意义。