摘要:本文通过优化的KOND算法对一维热传导方程进行数值离散化, 进而研究一维热传导方程的数值解和边界条件.该算法利用网格点之间的对称性,减少了计算机资源的存储量,提高了运算速度.该方法与其它方法比较,具有计算精度高、方便计算等优点,是求解偏微分方程数值解比较优秀的方法之一.
关键词：KOND算法；一维热传导方程；数值解；泰勒展开
第一章 引言
抛物型偏微分方程是一类描述物理量随时间的扩散和衰减变化规律的方程.在自然环境、工程设备及生物机体中有广泛的应用,诸如气体的扩散、液体的渗透、热的传导、以及半导体材料中杂质的扩散等都可用热传导方程来描述.在抛物型偏微分方程的研究中,一维热传导方程是典型的相对简单、也是比较经典的方程.上个世纪九十年代以来,在物理和力学的许多问题的研究,相继引出了热传导方程,袁光伟等人先后都对该方程作了比较详细和深刻的研究[1].
人们对热传导方程的求解研究由来已久,如田振夫的加权差分格式[2],冯新龙等人的加权隐格式[3],分离变量法、傅里叶变化法和拉普拉斯变换法[4]等.近些年来,通过人们坚持不懈的努力,又寻求到了一些热传导方程的解法,如有限元法[5],半离散差分格式[6],离散正则化方法[7],无网格方法[9],差分法[8]等等.其中,金继承提出了考虑一维无界域上热传导方程的数值求解问题,首先引入人工边界条件,将无界域上的问题简化为有界域上的初边值问题,再用适当的方法离散人工边界条件,用Crank-Nicolson格式和线性及二次有限元方法分别离散方程的时间和空间变量,从而构建了问题的完全离散格式[10]；丁玉梅讨论一维热传导方程初边值问题中,通过构造辅助函数,化非齐次边界条件为齐次边界条件[11]；开依沙尔·热合曼对求解一维热传导方程利用半离散的方法转化为一系列的常微分方程组,然后通过常微分方程的求解方法来求解热传导方程[6]；冯新龙等人利用加权隐格式,在固定网比的前提下,得到修正加权因子opt,利用此opt求解一维热传导方程的数值解[3].然而这些方法计算起来都比较复杂,因此我们要研究一种有效的求解热传导方程的法案.
